鸭子象棋走一步，抵得上象棋走两步

光是红方的第一个回合，就有 2,554 个局面

两种棋里，红方在初始局面都有 44 种走法。在象棋里，黑方对这些走法的应着共构成 1,920 个局面。在鸭子象棋里，要等鸭子落到某个空点上（空点大约有 58 个），红方的回合才算走完，所以光是红方的第一个回合就有 2,554 个局面。

这个差距每走一个回合都会成倍放大。双方各走一个回合之后，鸭子象棋的局面数就已经超过象棋双方各走两个回合之后的局面数。

这些局面里，有一半其实是同一个局面

鸭子只有落在黑方下一步要经过的地方才有作用：黑方棋子要走到的点、要滑过的点，或者要跳过的点。落在别处，黑方的应着和盘上没有鸭子时完全一样。

最要紧的点是黑方九宫前沿的 e8：无论红方第一步走什么，鸭子落在那里都会让黑方少掉 8 种应着。那 28 个灰点什么也不改变。把鸭子放在其中任何一点上，黑方面对的选择都一样，然后再把鸭子挪到新的地方，所以接下来的对局还是同一盘棋。只有两处小差别：黑方不能把鸭子留在原地，而判定重复局面时要算上鸭子所在的点。

所以搜索只需看其中一个，其余的都可以跳过。凡是给黑方留下相同应着的落点都只算一次，第一步时红方的 2,554 种回合就降到 1,310 种。

鸭子离对手的棋子太远，等于浪费半个回合

同一张棋盘对棋手来说也是一条经验法则。把鸭子放在灰点上，对手的选择和没有鸭子时完全一样，等于你只走了一步象棋，回合的另一半白白放弃了。鸭子要放在对手棋子的路线上才有价值：放在对方车和炮所走的路上，或者挡在对方的马和象前面。开局时，作用最大的点在对手炮所在的那一行，一只鸭子能同时截断两门炮。

子力越少，鸭子在博弈树里的分量越大

为了看到开局以后的情况，我们让 Fairy-Stockfish 在两种棋里各自战 64 局，并统计每一步的选择数。象棋的选择随着棋子离盘而减少。在鸭子象棋里，每吃掉一个子也会给鸭子空出一个点，所以一个回合几乎和开局时一样宽；走到第 200 个半回合时，它的选择数约是象棋一步的 100 倍。

同样的搜索，在象棋里能向前看 25 个回合，在鸭子象棋里只有 14 个

这种宽度要拿搜索深度来换。搜索同样数量的局面，Fairy-Stockfish 在鸭子象棋里看到的深度只比象棋的一半多一点。两种棋的深度我们都按回合计算，鸭子象棋的一个回合包括放鸭子。如果搜索把每组等价的鸭子落点只算一次，就能赢回一部分深度。能赢回多少，我们还没有测过。

一条小规则，让象棋变成一种新棋

棋盘、棋子和走法全都是象棋的，所以象棋棋手坐下来就能下鸭子象棋。但鸭子几乎改变了棋子背后的一切。开局理论在第一步之后就失效了，因为其中每一路变化都假定棋盘上没有鸭子。对目前下这种棋的引擎来说，它也更难。传统搜索，也就是 Fairy-Stockfish 所用的 alpha-beta 搜索，每向前多看一个回合，都要为每一个多出来的选择付出代价，这就是为什么搜索预算越大，深度差距越大。

我们还不知道高水平的鸭子象棋是什么样子。有些落点纯粹是技术，比如放在 e8 的鸭子，一下拿走八个应着。另一些落点针对的可能是对手这个人，而不是局面：把鸭子放在一个安静的点上，引诱对方走某一步；或者用鸭子挡住对手正盯着的那条线，而真正的威胁在别处。一个能向前看 14 个回合的引擎找得到第一种。第二种，只有在高手之间的对局里才会出现。

我们是怎么统计的

第一步的局面由本站自己的规则引擎统计，也就是检查这里每一步棋的那段代码；更深的局面由 Fairy-Stockfish 统计。每种棋的 64 局也是 Fairy-Stockfish 下的，每步搜索 100,000 个局面，并关闭了神经网络。象棋的计数严格按合法着法，所以让自己的将帅可被吃掉的着法不算。鸭子象棋没有将军规则（吃掉将帅即获胜），所以每一步走子都算。