本尼迪克特象棋：先手方胜率 78%

规则

走一枚棋子。它从落点攻击到的每一个敌方棋子都会加入你方。棋子永远不会被吃掉，所以 32 枚棋子整局都留在棋盘上；一步攻击到对方将帅的棋即获胜。

停在原地的攻击不起作用。只有走动的那枚棋子会转化对方，所以已经瞄着某枚棋子的车必须再走一步才能拿下它。威胁只能靠走棋来制造。

它对象棋做了什么

永远没有残局。 没有兑子，局面不会简化，残局库也不可能存在，因为子力从不减少。象棋的残局理论，也就是象棋理论的大部分，完全用不上。

炮永远不会变弱。 象棋的炮需要炮架才能吃子，所以在象棋里它会随着棋盘变空而变弱。这里棋盘从不变空，炮在对局后段和第 3 步时一样危险。

仕和相什么也守不住。 它们存在是为了防吃子，而这里没有吃子。它们仍能挡住线路、给炮当炮架，但它们被设计出来要做的事都没有了。

对局很短，没有人和棋。 下面 54 盘引擎对局中，一半在第 28 步前结束。没有一盘是和棋，6,000 盘均匀随机合法着法的对局也没有一盘和棋。没有子力可兑，也没有残局可磨，每一盘都会分出胜负。

约 28% 的合法着法当场就输。 这是引擎对局中 1,696 个局面的平均值。中位局面有 10% 的着法会输，平均值是由少数非常尖锐的局面拉高的。这个比例从对局前五分之一的 24% 升到最后五分之一的 37%，所以不存在可以安心出子的平静开局阶段。

设计：四个决定

将帅仍然不能照面。 象棋禁止两个将帅在同一条直线上中间无子相隔，我们保留了这条规则。另一种做法是把白脸将变成胜利条件，但它行不通：只有走动的棋子才会转化，所以打开这条线并不能取胜，结果将帅相对而立，对局却继续，直到有人把将帅沿着这条线挪一步去领取胜利。

保留这条禁令没有代价，还带来了象棋没有的东西。被钉在将帅线上的棋子无法被移走，因为这里没有任何东西能移走棋子；转化它也不能解开牵制，因为转化是原地变色。你可以赢得这枚棋子，却仍然动不了它，直到一方的将帅离开这条线。

仕和相受它们所在的区域约束，不论归谁所有。 被转化的仕站在敌方九宫里。如果受原主人的九宫约束，它会永远冻结在那里；受它所在的九宫约束，它就能继续行棋，从内部发动攻击。从初始局面看两种理解是一样的，因为每个仕都从自己的九宫出发。

兵卒受其主人约束。 兵卒的前进方向必须跟随它现在的主人，否则被转化的兵卒会永远背离新的阵营前进。把这两条规则弄反，会悄无声息地毁掉这个游戏。

和棋需要进度计数。 没有吃子，几乎每一步都可以撤回，仅靠三次重复局面不够。计数在仅有的两种不可撤回的事件上清零：一次转化，或一步兵卒走动。

我们如何测试

现有的引擎都下不了这个棋。Pikafish 和 Fairy-Stockfish 都内置了吃子规则，而 Fairy-Stockfish 唯一的转化机制是像黑白棋那样翻转被落子包围的棋子，那是另一条规则。所以我们用 Rust 写了一个：带置换表的 alpha-beta 搜索、主要变例搜索、后期着法缩减，以及针对转化的静态搜索。它的子力价值是用逻辑回归在自对弈结果上拟合出来的，并在对抗中胜过了我们手工挑选的价值。

我们不公布拟合出的数值。早先用四分之一数据做的一次拟合中，有好几个数值后来符号反转，这样的噪声是一张子力价值表承受不了的。排序保留了下来：仕和相几乎一文不值，而这本来就可以从无需防守推出。

在测量任何东西之前，先检查了规则。下面全部 54 盘引擎对局都能在 Mistboard 的 TypeScript 规则内核中重放，1,696 个局面中的每一个都得到相同的转化和相同数量的合法着法；本页的每一个棋盘也都经过这个内核。有三个结果不取决于引擎下得多好。

随机对弈已经偏向先手方。6,000 局中 54.5% 比五五开高出约七个标准误，所以在双方都还下不好之前，一步先手就已经有价值。

这个证明需要谨慎，因为普通搜索做不出证明。后期着法缩减会把靠后的着法搜得更浅，所以普通搜索没找到胜着，只说明它没有处处都看到。关闭缩减和静态搜索，并在杀棋阈值上以是或否来提问，搜索就证明了 13 步之内没有强制胜。这用了 208 亿个节点，约半小时。

我们还检查了引擎变强时 78% 是否会变化。从每步 30 万节点到 200 万节点，七倍的范围内，它几乎没有变化。

仅有稳定还不够。这项测量的早期版本用六步随机开局库来让对局多样化，得到 52.7%，并且在十倍的引擎强度范围内保持不变。它稳定，是因为开局库把要测量的那一步先手花掉了：六步随机着法在两个引擎走第一步之前就把优势丢掉了。坏掉的温度计在每个房间都显示室温。78% 不用开局库，对局的多样性来自评估抖动。

一步炮定胜负

先手方赢下 78% 的引擎对局，这是从初始局面测得的，不用开局库，红黑轮流先走。随后我们单独测量了红方全部 42 个合法的第一步，诊断的样子变了。

最好的两步是同一个想法，把炮升到第五或第六横线：h3h6 得 91.7%，b3b5 得 87.5%。得零分的三步是两步走到棋盘边上的相（c1a3 和 g1i3），以及帅从中路上一步（e1e2）。红方第一步的价值从零到 92% 不等，所以 78% 衡量的是一个总能找到强势开局的引擎。

象棋的炮和目标之间需要正好一枚棋子，而黑方的初始局面免费把这枚棋子摆在了恰好的位置。这个威胁之所以存在，是因为象棋的初始局面恰好落在本尼迪克特规则能利用的地方。

引擎下的每一盘棋

最强设置下的全部 54 盘对局，每步 200 万节点，未经挑选。红方先走 36 盘，赢 33 盘；黑方先走 18 盘，赢 13 盘。先手方赢了 46 盘，输掉的那 8 盘最值得打开看看。

饼干规则

这 42 种开局之间的差距正是这个游戏可以挽救的原因，而修补办法已经存在。饼干规则像两个孩子分蛋糕：一个切，另一个挑。红方先走第一步，然后黑方选择继续执黑，还是接手红方的局面。当黑方可以直接拿走最强的开局时，走最强的开局就没有意义了。

于是红方被推向最接近均势的着法，42 步中有四步在那里。两步是炮放弃自己的最佳位置，另外两步是棋盘上最安静的出子着法。

限定在其中一步上，对局就会接近 50%，因为红方再也无法利用这份优势。六贯棋（Hex）在每种棋盘大小下都被证明是先手胜，却因为换边规则而被竞技性地下着。

这四个数字各来自 24 盘对局：不足以在它们之间排名，但足以说明从 0% 到 92% 的差距是真实的。用足够的样本确认其中一步能稳定在 50% 附近，是尚待完成的工作。

饼干规则修正了公平性，而没有改变尖锐程度。当场就输的着法比例是规则本身的属性，所以它不会变。比赛变得均衡，却依然尖锐；人们是否想下这样的棋，胜率回答不了。

它目前处于什么水平

它还不能作为竞技游戏上线。先手方每四盘赢三盘，任何等级分阶梯都撑不住。

不公平不等于不能下。自杀棋已被证明是先手胜，却每天都有人下，因为那个证明走的是人类找不到的变化；六贯棋则在换边规则下照样被人下。这里的不同在于深度。这个 78% 依靠的是一步一句话就能说清的棋，把炮升到第五横线，而引擎每次都能找到它。没人够得着的已证胜局只是奇闻；一个能背下来的胜法就是整个游戏。

饼干规则之外，还有两个修补办法未经测试。把将帅标记出来、给防守方一步应对的机会，可以直接削弱炮的威胁。或者改动初始局面中的中兵，因为这个威胁之所以存在，只是因为黑方的卒恰好站在炮需要炮架的位置。

红方有强制胜吗？

上面的一切都是胜率，是关于两个特定引擎的陈述。这个游戏在完美对弈下是否先手胜，其答案不取决于任何东西下得多好。我们手里的是一个下界，13 步之内没有强制胜。这排除了廉价的胜法，而引擎对局中有一半在第 28 步前就结束了。

有两件事让这个问题比看起来更难。子力守恒，所以没有残局库可建，正向搜索也没有可以会合的中点。策略窃取也用不上：棋子只会移动，从不累积，所以先手方不能随便走一步再把它丢掉。有帮助的是对局短且总能分出胜负，是一棵浅而终局尖锐的树，而这正是证明数搜索擅长的形状。

下一级是 14 步。证明可以按红方 42 个第一步拆分并几乎无损地并行运行，因为既然没有强制胜，任何一个分支都不会剪掉另一个。拆到两步深，会得到 1,740 个独立任务，足以用上一个集群。证明数搜索把精力花在证明树最窄的部分，马克·沃特金斯正是用它解决了自杀棋，而我们还没有实现它。

弱解，或者通过我们没想到的论证得到的超弱解，也会顺带解决饼干规则的问题：已被证明的先手胜正是换边规则被发明出来要应对的情形。引擎、测试工具、54 盘对局和完整的开局表都在一个代码仓库里。