本尼迪克特象棋：先手方勝率 78%

規則

走一枚棋子。它從落點攻擊到的每一個敵方棋子都會加入你方。棋子永遠不會被喫掉，所以 32 枚棋子整局都留在棋盤上；一步攻擊到對方將帥的棋即獲勝。

停在原地的攻擊不起作用。只有走動的那枚棋子會轉化對方，所以已經瞄着某枚棋子的車必須再走一步才能拿下它。威脅只能靠走棋來製造。

它對象棋做了什麼

永遠沒有殘局。 沒有兌子，局面不會簡化，殘局庫也不可能存在，因爲子力從不減少。象棋的殘局理論，也就是象棋理論的大部分，完全用不上。

炮永遠不會變弱。 象棋的炮需要炮架才能喫子，所以在象棋裏它會隨着棋盤變空而變弱。這裏棋盤從不變空，炮在對局後段和第 3 步時一樣危險。

仕和相什麼也守不住。 它們存在是爲了防喫子，而這裏沒有喫子。它們仍能擋住線路、給炮當炮架，但它們被設計出來要做的事都沒有了。

對局很短，沒有人和棋。 下面 54 盤引擎對局中，一半在第 28 步前結束。沒有一盤是和棋，6,000 盤均勻隨機合法着法的對局也沒有一盤和棋。沒有子力可兌，也沒有殘局可磨，每一盤都會分出勝負。

約 28% 的合法着法當場就輸。 這是引擎對局中 1,696 個局面的平均值。中位局面有 10% 的着法會輸，平均值是由少數非常尖銳的局面拉高的。這個比例從對局前五分之一的 24% 升到最後五分之一的 37%，所以不存在可以安心出子的平靜開局階段。

設計：四個決定

將帥仍然不能照面。 象棋禁止兩個將帥在同一條直線上中間無子相隔，我們保留了這條規則。另一種做法是把白臉將變成勝利條件，但它行不通：只有走動的棋子纔會轉化，所以打開這條線並不能取勝，結果將帥相對而立，對局卻繼續，直到有人把將帥沿着這條線挪一步去領取勝利。

保留這條禁令沒有代價，還帶來了象棋沒有的東西。被釘在將帥線上的棋子無法被移走，因爲這裏沒有任何東西能移走棋子；轉化它也不能解開牽制，因爲轉化是原地變色。你可以贏得這枚棋子，卻仍然動不了它，直到一方的將帥離開這條線。

仕和相受它們所在的區域約束，不論歸誰所有。 被轉化的仕站在敵方九宮裏。如果受原主人的九宮約束，它會永遠凍結在那裏；受它所在的九宮約束，它就能繼續行棋，從內部發動攻擊。從初始局面看兩種理解是一樣的，因爲每個仕都從自己的九宮出發。

兵卒受其主人約束。 兵卒的前進方向必須跟隨它現在的主人，否則被轉化的兵卒會永遠背離新的陣營前進。把這兩條規則弄反，會悄無聲息地毀掉這個遊戲。

和棋需要進度計數。 沒有喫子，幾乎每一步都可以撤回，僅靠三次重複局面不夠。計數在僅有的兩種不可撤回的事件上清零：一次轉化，或一步兵卒走動。

我們如何測試

現有的引擎都下不了這個棋。Pikafish 和 Fairy-Stockfish 都內置了喫子規則，而 Fairy-Stockfish 唯一的轉化機制是像黑白棋那樣翻轉被落子包圍的棋子，那是另一條規則。所以我們用 Rust 寫了一個：帶置換表的 alpha-beta 搜索、主要變例搜索、後期着法縮減，以及針對轉化的靜態搜索。它的子力價值是用邏輯迴歸在自對弈結果上擬合出來的，並在對抗中勝過了我們手工挑選的價值。

我們不公佈擬合出的數值。早先用四分之一數據做的一次擬閤中，有好幾個數值後來符號反轉，這樣的噪聲是一張子力價值表承受不了的。排序保留了下來：仕和相幾乎一文不值，而這本來就可以從無需防守推出。

在測量任何東西之前，先檢查了規則。下面全部 54 盤引擎對局都能在 Mistboard 的 TypeScript 規則內核中重放，1,696 個局面中的每一個都得到相同的轉化和相同數量的合法着法；本頁的每一個棋盤也都經過這個內核。有三個結果不取決於引擎下得多好。

隨機對弈已經偏向先手方。6,000 局中 54.5% 比五五開高出約七個標準誤，所以在雙方都還下不好之前，一步先手就已經有價值。

這個證明需要謹慎，因爲普通搜索做不出證明。後期着法縮減會把靠後的着法搜得更淺，所以普通搜索沒找到勝着，只說明它沒有處處都看到。關閉縮減和靜態搜索，並在殺棋閾值上以是或否來提問，搜索就證明了 13 步之內沒有強制勝。這用了 208 億個節點，約半小時。

我們還檢查了引擎變強時 78% 是否會變化。從每步 30 萬節點到 200 萬節點，七倍的範圍內，它幾乎沒有變化。

僅有穩定還不夠。這項測量的早期版本用六步隨機開局庫來讓對局多樣化，得到 52.7%，並且在十倍的引擎強度範圍內保持不變。它穩定，是因爲開局庫把要測量的那一步先手花掉了：六步隨機着法在兩個引擎走第一步之前就把優勢丟掉了。壞掉的溫度計在每個房間都顯示室溫。78% 不用開局庫，對局的多樣性來自評估抖動。

一步炮定勝負

先手方贏下 78% 的引擎對局，這是從初始局面測得的，不用開局庫，紅黑輪流先走。隨後我們單獨測量了紅方全部 42 個合法的第一步，診斷的樣子變了。

最好的兩步是同一個想法，把炮升到第五或第六橫線：h3h6 得 91.7%，b3b5 得 87.5%。得零分的三步是兩步走到棋盤邊上的相（c1a3 和 g1i3），以及帥從中路上一步（e1e2）。紅方第一步的價值從零到 92% 不等，所以 78% 衡量的是一個總能找到強勢開局的引擎。

象棋的炮和目標之間需要正好一枚棋子，而黑方的初始局面免費把這枚棋子擺在了恰好的位置。這個威脅之所以存在，是因爲象棋的初始局面恰好落在本尼迪克特規則能利用的地方。

引擎下的每一盤棋

最強設置下的全部 54 盤對局，每步 200 萬節點，未經挑選。紅方先走 36 盤，贏 33 盤；黑方先走 18 盤，贏 13 盤。先手方贏了 46 盤，輸掉的那 8 盤最值得打開看看。

餅乾規則

這 42 種開局之間的差距正是這個遊戲可以挽救的原因，而修補辦法已經存在。餅乾規則像兩個孩子分蛋糕：一個切，另一個挑。紅方先走第一步，然後黑方選擇繼續執黑，還是接手紅方的局面。當黑方可以直接拿走最強的開局時，走最強的開局就沒有意義了。

於是紅方被推向最接近均勢的着法，42 步中有四步在那裏。兩步是炮放棄自己的最佳位置，另外兩步是棋盤上最安靜的出子着法。

限定在其中一步上，對局就會接近 50%，因爲紅方再也無法利用這份優勢。六貫棋（Hex）在每種棋盤大小下都被證明是先手勝，卻因爲換邊規則而被競技性地下着。

這四個數字各來自 24 盤對局：不足以在它們之間排名，但足以說明從 0% 到 92% 的差距是真實的。用足夠的樣本確認其中一步能穩定在 50% 附近，是尚待完成的工作。

餅乾規則修正了公平性，而沒有改變尖銳程度。當場就輸的着法比例是規則本身的屬性，所以它不會變。比賽變得均衡，卻依然尖銳；人們是否想下這樣的棋，勝率回答不了。

它目前處於什麼水準

它還不能作爲競技遊戲上線。先手方每四盤贏三盤，任何等級分階梯都撐不住。

不公平不等於不能下。自殺棋已被證明是先手勝，卻每天都有人下，因爲那個證明走的是人類找不到的變化；六貫棋則在換邊規則下照樣被人下。這裏的不同在於深度。這個 78% 依靠的是一步一句話就能說清的棋，把炮升到第五橫線，而引擎每次都能找到它。沒人夠得着的已證勝局只是奇聞；一個能背下來的勝法就是整個遊戲。

餅乾規則之外，還有兩個修補辦法未經測試。把將帥標記出來、給防守方一步應對的機會，可以直接削弱炮的威脅。或者改動初始局面中的中兵，因爲這個威脅之所以存在，只是因爲黑方的卒恰好站在炮需要炮架的位置。

紅方有強制勝嗎？

上面的一切都是勝率，是關於兩個特定引擎的陳述。這個遊戲在完美對弈下是否先手勝，其答案不取決於任何東西下得多好。我們手裏的是一個下界，13 步之內沒有強制勝。這排除了廉價的勝法，而引擎對局中有一半在第 28 步前就結束了。

有兩件事讓這個問題比看起來更難。子力守恆，所以沒有殘局庫可建，正向搜索也沒有可以會合的中點。策略竊取也用不上：棋子只會移動，從不累積，所以先手方不能隨便走一步再把它丟掉。有幫助的是對局短且總能分出勝負，是一棵淺而終局尖銳的樹，而這正是證明數搜索擅長的形狀。

下一級是 14 步。證明可以按紅方 42 個第一步拆分並幾乎無損地並行運行，因爲既然沒有強制勝，任何一個分支都不會剪掉另一個。拆到兩步深，會得到 1,740 個獨立任務，足以用上一個集羣。證明數搜索把精力花在證明樹最窄的部分，馬克·沃特金斯正是用它解決了自殺棋，而我們還沒有實現它。

弱解，或者通過我們沒想到的論證得到的超弱解，也會順帶解決餅乾規則的問題：已被證明的先手勝正是換邊規則被髮明出來要應對的情形。引擎、測試工具、54 盤對局和完整的開局表都在一個代碼倉庫裏。