鴨子象棋走一步，抵得上象棋走兩步

光是紅方的第一個回合，就有 2,554 個局面

兩種棋裡，紅方在初始局面都有 44 種走法。在象棋裡，黑方對這些走法的應著共構成 1,920 個局面。在鴨子象棋裡，要等鴨子落到某個空點上（空點大約有 58 個），紅方的回合才算走完，所以光是紅方的第一個回合就有 2,554 個局面。

這個差距每走一個回合都會成倍放大。雙方各走一個回合之後，鴨子象棋的局面數就已經超過象棋雙方各走兩個回合之後的局面數。

這些局面裡，有一半其實是同一個局面

鴨子只有落在黑方下一步要經過的地方才有作用：黑方棋子要走到的點、要滑過的點，或者要跳過的點。落在別處，黑方的應著和盤上沒有鴨子時完全一樣。

最要緊的點是黑方九宮前沿的 e8：無論紅方第一步走什麼，鴨子落在那裡都會讓黑方少掉 8 種應著。那 28 個灰點什麼也不改變。把鴨子放在其中任何一點上，黑方面對的選擇都一樣，然後再把鴨子挪到新的地方，所以接下來的對局還是同一盤棋。只有兩處小差別：黑方不能把鴨子留在原地，而判定重複局面時要算上鴨子所在的點。

所以搜尋只需看其中一個，其餘的都可以跳過。凡是給黑方留下相同應著的落點都只算一次，第一步時紅方的 2,554 種回合就降到 1,310 種。

鴨子離對手的棋子太遠，等於浪費半個回合

同一張棋盤對棋手來說也是一條經驗法則。把鴨子放在灰點上，對手的選擇和沒有鴨子時完全一樣，等於你只走了一步象棋，回合的另一半白白放棄了。鴨子要放在對手棋子的路線上才有價值：放在對方車和炮所走的路上，或者擋在對方的馬和象前面。開局時，作用最大的點在對手炮所在的那一行，一隻鴨子能同時截斷兩門炮。

子力越少，鴨子在博弈樹裡的分量越大

為了看到開局以後的情況，我們讓 Fairy-Stockfish 在兩種棋裡各自戰 64 局，並統計每一步的選擇數。象棋的選擇隨著棋子離盤而減少。在鴨子象棋裡，每吃掉一個子也會給鴨子空出一個點，所以一個回合幾乎和開局時一樣寬；走到第 200 個半回合時，它的選擇數約是象棋一步的 100 倍。

同樣的搜尋，在象棋裡能向前看 25 個回合，在鴨子象棋裡只有 14 個

這種寬度要拿搜尋深度來換。搜尋同樣數量的局面，Fairy-Stockfish 在鴨子象棋裡看到的深度只比象棋的一半多一點。兩種棋的深度我們都按回合計算，鴨子象棋的一個回合包括放鴨子。如果搜尋把每組等價的鴨子落點只算一次，就能贏回一部分深度。能贏回多少，我們還沒有測過。

一條小規則，讓象棋變成一種新棋

棋盤、棋子和走法全都是象棋的，所以象棋棋手坐下來就能下鴨子象棋。但鴨子幾乎改變了棋子背後的一切。開局理論在第一步之後就失效了，因為其中每一路變化都假定棋盤上沒有鴨子。對目前下這種棋的引擎來說，它也更難。傳統搜尋，也就是 Fairy-Stockfish 所用的 alpha-beta 搜尋，每向前多看一個回合，都要為每一個多出來的選擇付出代價，這就是為什麼搜尋預算越大，深度差距越大。

我們還不知道高水準的鴨子象棋是什麼樣子。有些落點純粹是技術，比如放在 e8 的鴨子，一下拿走八個應著。另一些落點針對的可能是對手這個人，而不是局面：把鴨子放在一個安靜的點上，引誘對方走某一步；或者用鴨子擋住對手正盯著的那條線，而真正的威脅在別處。一個能向前看 14 個回合的引擎找得到第一種。第二種，只有在高手之間的對局裡才會出現。

我們是怎麼統計的

第一步的局面由本站自己的規則引擎統計，也就是檢查這裡每一步棋的那段程式碼；更深的局面由 Fairy-Stockfish 統計。每種棋的 64 局也是 Fairy-Stockfish 下的，每步搜尋 100,000 個局面，並關閉了神經網路。象棋的計數嚴格按合法著法，所以讓自己的將帥可被吃掉的著法不算。鴨子象棋沒有將軍規則（吃掉將帥即獲勝），所以每一步走子都算。